14-08-2020, 02:15 PM
پاسخ گذرا و پایا
همان‌طور که بارها بیان شد، معادلات مربوط به این سه حالت، همگی از نوع مرتبه دوم و با ضرایب ثابت هستند. از آنجایی که در آن‌ها، نیروی (F(t مخالف صفر در نظر گرفته می‌شود، بنابراین تمامی این معادلات از نوع غیرهمگن نیز محسوب می‌شوند. بنابراین با توجه به مطالب بیان شده در بخشمعادله دیفرانسیل مرتبه دوم، پاسخ ارتعاشی یک سیستم، شامل دو بخش خصوصی و عمومی خواهد بود.
پاسخ سیستم در حالتی که زمان به بینهایت میل کند، «پاسخ پایا» (ُSteady State Response) نامیده می‌شود. از طرفی، زمان شروع تا هنگامی که سیستم به حالت پایا برسد را «پاسخ گذرا» (Transient Response) می‌نامند. در اکثر مسائل کاربردی و مهندسی پاسخ پایا از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.
در ادامه و در قالب ریاضیات در مورد این پاسخ‌ها بحث خواهیم کرد. در حالت کلی جواب این معادلات به صورت (x(t)=xh(t)+xp(t در نظر گرفته می‌شوند. (xh(t همان پاسخ خصوصی معادله است که با گذشت زمان به صفر میل می‌کند؛ هم‌چنین (xp(t به عنوان پاسخ خصوصی در نظر گرفته می‌شود. بنابراین در مسائل ارتعاشات اجباری این (xp(t است که به دنبال یافتنش هستیم.
پاسخ پایای معادلات مربوط به ارتعاش اجباری
حال وقت آن رسیده که پاسخ معادلات ارائه شده در سه حالت ارتعاش اجباری (که در بالا به آن اشاره شده) را مورد بررسی قرار دهیم.
1- اعمال نیروی خارجی متغیر
همان‌طور که در بالا نیز ذکر شد، معادله سیستم جرم و فنر در حالتی که نیروی هارمونیک (F(t به آن وارد شود، به صورت زیر است.
![[تصویر: 2121.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2121.gif)
پاسخ عمومی این معادله به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود. با جایگذاری این قالب کلی در معادله اصلی، می‌توان ثوابت Φ و X0 را به شکل زیر بدست آورد.
![[تصویر: 2222.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2222.gif)
در این معادله مقدار دامنه (X0) بسیار مهم است. در واقع می‌توان با انتخاب ترکیب‌های مختلف از ξ ،ωn و k، سیستم را به نحوی طراحی کرد که در هنگام ارتعاش اجباری کم‌ترین جابجایی ممکن ایجاد شود. معمولاً تحلیل‌های صورت گرفته برای دامنه ارتعاش اجباری، بر اساس دو مقدار ξ و r=ω/ωn انجام می‌شوند. دو نمودار زیر دامنه و اختلاف فاز را بر حسب این مقادیر نشان می‌دهند.
![[تصویر: vibration.png]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/vibration.png)
همان‌طور که در نمودار مربوط به دامنه مشاهده می‌کنید، در حالتی که فرکانس نوسان و فرکانس طبیعی برابر باشند (r=1)، دامنه نوسان بسیار زیاد خواهد شد. به این حالت «تشدید» (Resonance) گفته می‌شود. از نظر مهندسی این پدیده بسیار مهم است به نحوی که بایستی اثر آن را در طراحی سیستم‌هایی لحاظ کرد که با ارتعاش در ارتباط هستند.
پل «تاکوما ناروز» در سال 1940 توسط بادی با سرعت 64 کیلومتر در ساعت به ارتعاش درآمد. در واقع یکی بودن فرکانس باد و فرکانس طبیعی پل، پدیده تشدید، افزایش دامنه نوسان پل و نهایتاً تخریب آن را در پی داشت.
![[تصویر: tacoma-bridge.jpg]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/tacoma-bridge.jpg)
2- پایه متحرک
معادله نوسان اجباری سیستمی با پایه متحرک به صورت زیر بدست آمد.
![[تصویر: 2323.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2323.gif)
ثابت‌های در نظر گرفته شده نیز به شکل زیر تعریف شدند.
![[تصویر: 2424.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2424.gif)
اگر پاسخ پایا برای این معادله را به صورت زیر در نظر بگیریم. Y0 و X0 برابر با مقادیر زیر خواهند بود.
![[تصویر: 2525.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2525.gif)
احتمالاً متوجه شده‌اید که تغییرات، مشابه با حالتی است که نیروی هارمونیک به سیستم وارد می‌شود. بنابراین تشدید در این حالت هم در r=1 اتفاق می‌افتد.
3- نوسان جرم متصل به سیستم
همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، معادله سیستمی که جرم m متصل به آن، در حال دوران باشد، به صورت زیر است.
![[تصویر: 2626.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2626.gif)
ثوابت استاندارد نیز برای این معادله به‌شکل زیر تعریف شدند.
![[تصویر: 2727.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2727.gif)
همانند دو مسئله قبل با در نظر گرفتن پاسخی هارمونیک برای این معادله، ثوابت به صورت زیر بدست خواهند آمد.
![[تصویر: 2828.gif]](http://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/2828.gif)
همانند دو حالت قبل، تشدید در این شکل از ارتعاش نیز در حالتی اتفاق خواهد افتاد که فرکانس طبیعی و تحریک با یکدیگر برابر باشند.
همان‌طور که بارها بیان شد، معادلات مربوط به این سه حالت، همگی از نوع مرتبه دوم و با ضرایب ثابت هستند. از آنجایی که در آن‌ها، نیروی (F(t مخالف صفر در نظر گرفته می‌شود، بنابراین تمامی این معادلات از نوع غیرهمگن نیز محسوب می‌شوند. بنابراین با توجه به مطالب بیان شده در بخشمعادله دیفرانسیل مرتبه دوم، پاسخ ارتعاشی یک سیستم، شامل دو بخش خصوصی و عمومی خواهد بود.
پاسخ سیستم در حالتی که زمان به بینهایت میل کند، «پاسخ پایا» (ُSteady State Response) نامیده می‌شود. از طرفی، زمان شروع تا هنگامی که سیستم به حالت پایا برسد را «پاسخ گذرا» (Transient Response) می‌نامند. در اکثر مسائل کاربردی و مهندسی پاسخ پایا از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.
در ادامه و در قالب ریاضیات در مورد این پاسخ‌ها بحث خواهیم کرد. در حالت کلی جواب این معادلات به صورت (x(t)=xh(t)+xp(t در نظر گرفته می‌شوند. (xh(t همان پاسخ خصوصی معادله است که با گذشت زمان به صفر میل می‌کند؛ هم‌چنین (xp(t به عنوان پاسخ خصوصی در نظر گرفته می‌شود. بنابراین در مسائل ارتعاشات اجباری این (xp(t است که به دنبال یافتنش هستیم.
پاسخ پایای معادلات مربوط به ارتعاش اجباری
حال وقت آن رسیده که پاسخ معادلات ارائه شده در سه حالت ارتعاش اجباری (که در بالا به آن اشاره شده) را مورد بررسی قرار دهیم.
1- اعمال نیروی خارجی متغیر
همان‌طور که در بالا نیز ذکر شد، معادله سیستم جرم و فنر در حالتی که نیروی هارمونیک (F(t به آن وارد شود، به صورت زیر است.
پاسخ عمومی این معادله به شکل زیر در نظر گرفته می‌شود. با جایگذاری این قالب کلی در معادله اصلی، می‌توان ثوابت Φ و X0 را به شکل زیر بدست آورد.
در این معادله مقدار دامنه (X0) بسیار مهم است. در واقع می‌توان با انتخاب ترکیب‌های مختلف از ξ ،ωn و k، سیستم را به نحوی طراحی کرد که در هنگام ارتعاش اجباری کم‌ترین جابجایی ممکن ایجاد شود. معمولاً تحلیل‌های صورت گرفته برای دامنه ارتعاش اجباری، بر اساس دو مقدار ξ و r=ω/ωn انجام می‌شوند. دو نمودار زیر دامنه و اختلاف فاز را بر حسب این مقادیر نشان می‌دهند.
همان‌طور که در نمودار مربوط به دامنه مشاهده می‌کنید، در حالتی که فرکانس نوسان و فرکانس طبیعی برابر باشند (r=1)، دامنه نوسان بسیار زیاد خواهد شد. به این حالت «تشدید» (Resonance) گفته می‌شود. از نظر مهندسی این پدیده بسیار مهم است به نحوی که بایستی اثر آن را در طراحی سیستم‌هایی لحاظ کرد که با ارتعاش در ارتباط هستند.
پل «تاکوما ناروز» در سال 1940 توسط بادی با سرعت 64 کیلومتر در ساعت به ارتعاش درآمد. در واقع یکی بودن فرکانس باد و فرکانس طبیعی پل، پدیده تشدید، افزایش دامنه نوسان پل و نهایتاً تخریب آن را در پی داشت.
2- پایه متحرک
معادله نوسان اجباری سیستمی با پایه متحرک به صورت زیر بدست آمد.
ثابت‌های در نظر گرفته شده نیز به شکل زیر تعریف شدند.
اگر پاسخ پایا برای این معادله را به صورت زیر در نظر بگیریم. Y0 و X0 برابر با مقادیر زیر خواهند بود.
احتمالاً متوجه شده‌اید که تغییرات، مشابه با حالتی است که نیروی هارمونیک به سیستم وارد می‌شود. بنابراین تشدید در این حالت هم در r=1 اتفاق می‌افتد.
3- نوسان جرم متصل به سیستم
همان‌طور که در بالا نیز بیان شد، معادله سیستمی که جرم m متصل به آن، در حال دوران باشد، به صورت زیر است.
ثوابت استاندارد نیز برای این معادله به‌شکل زیر تعریف شدند.
همانند دو مسئله قبل با در نظر گرفتن پاسخی هارمونیک برای این معادله، ثوابت به صورت زیر بدست خواهند آمد.
همانند دو حالت قبل، تشدید در این شکل از ارتعاش نیز در حالتی اتفاق خواهد افتاد که فرکانس طبیعی و تحریک با یکدیگر برابر باشند.