14-08-2020, 02:07 PM
ارتعاش آزاد سیستم دو درجه آزادی بدون میرایی
به منظور بررسی کلی یک سیستم دو درجه آزادی (ارتعاشِ اجباریِ میرا) در ابتدا بهتر است تا سیستمی را بررسی کنیم که نیرویی هارمونیک به آن وارد نشود و هم‌چنین میرا نباشد. بدین منظور در این قسمت قصد داریم تا ارتعاش آزاد یک سیستم دو درجه آزادی نامیرا را مورد بررسی قرار دهیم.
در ابتدا برای بررسی یک سیستم نامیرای دو درجه آزادی، بردار (F(t و ماتریس [c] را برابر با صفر قرار می‌دهیم؛ در نتیجه معادله کلی سیستم مفروض به‌صورت زیر خواهد شد.
![[تصویر: 9-7.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/9-7.jpg)
همان‌طور که در قسمت معادلات دیفرانسیل نیز ذکر کردیم، پاسخ معادله را به‌صورت هارمونیک در نظر می‌گیریم. بنابراین (x1(t و (x2(t را می‌توان در قالب زیر در نظر گرفت.
![[تصویر: 10-6.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/10-6.jpg)
در این دو فرض، مقادیر X1 و X2 و Φ به‌ترتیب دامنه نوسان (x1(t و (x2(t و اختلاف فاز هستند. با جایگذاری دو پاسخ فرض شده بالا در معادلات دیفرانسیل بدست آمده، عبارات زیر حاصل خواهند شد.
![[تصویر: 11-4.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/11-4.jpg)
از آنجایی که معادلات بیان شده بایستی در تمامی زمان‌های t صادق باشند، بنابراین عبارات درون براکت، برابر با صفر قرار داده می‌شوند. در نتیجه خواهیم داشت.
![[تصویر: 12-3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/12-3.jpg)
بدیهی است که پاسخ X1 و X2 برابر با صفر، در این معادلات صادق خواهد بود، اما این پاسخ‌ها، سیستم را در حالتی نشان می‌دهد که ارتعاشی انجام نمی‌دهد؛ بنابراین بایستی پاسخ دیگر این دو معادله را پیدا کنیم. به‌منظور یافتن دو پاسخ معادله مفروض،دترمینان ضرایب آن‌ها را برابر با صفر قرار می‌دهیم؛ در نتیجه می‌توان نوشت.
![[تصویر: 13-3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/13-3.jpg)
معادله بالا، تحت عنوان «معادله مشخصه» (Characteristic Equation) شناخته می‌شود؛ دلیل این نامگذاری، مشخص شدن فرکانس‌های نوسان با استفاده از این معادلات است. ریشه‌های معادله مشخصه برابر هستند با:
![[تصویر: 14-3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/14-3.jpg)
بنابراین می‌توان گفت برای سیستم مفروض، پاسخی به‌شکل زیر وجود دارد.
![[تصویر: 15-4.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/15-4.jpg)
در این معادلات مقادیر ω1 و ω2 برابر با مقادیر زیر در نظر گرفته می‌شوند.
![[تصویر: 16-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/16-2.jpg)
توجه داشته باشید که مقادیر X1 و X2 مرتبط با ω1، به وسیله X(1)1 و X(1)2 نشان داده می‌شوند؛ هم‌چنین دامنه‌های X1 و X2 مرتبط با ω2 را با X(2)1 و X(2)2 بیان می‌کنند. معادلات بالا همگن هستند. به‌منظور تحلیل پاسخ چنین سیستمی تعاریف زیر صورت می‌گیرد.
![[تصویر: 17-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/17-2.jpg)
![[تصویر: 18-3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/18-3.jpg)
مقادیر r=r1 و r=r2 را می‌توان بر حسب فرکانس‌های ω=ω1 و ω=ω2، به‌شکل زیر بیان کرد.
![[تصویر: 19-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/19-2.jpg)
مودهای نرمال مرتبط با ω12 و ω22 را می‌توان به‌ترتیب زیر بیان کرد.
![[تصویر: 20-1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/20-1.jpg)
1→X
و 2→X
تحت عنوان «شکل مودی» (Mode Shape) جابجایی جرم‌های موجود در سیستم شناخته می‌شوند.
به منظور بررسی کلی یک سیستم دو درجه آزادی (ارتعاشِ اجباریِ میرا) در ابتدا بهتر است تا سیستمی را بررسی کنیم که نیرویی هارمونیک به آن وارد نشود و هم‌چنین میرا نباشد. بدین منظور در این قسمت قصد داریم تا ارتعاش آزاد یک سیستم دو درجه آزادی نامیرا را مورد بررسی قرار دهیم.
در ابتدا برای بررسی یک سیستم نامیرای دو درجه آزادی، بردار (F(t و ماتریس [c] را برابر با صفر قرار می‌دهیم؛ در نتیجه معادله کلی سیستم مفروض به‌صورت زیر خواهد شد.
همان‌طور که در قسمت معادلات دیفرانسیل نیز ذکر کردیم، پاسخ معادله را به‌صورت هارمونیک در نظر می‌گیریم. بنابراین (x1(t و (x2(t را می‌توان در قالب زیر در نظر گرفت.
در این دو فرض، مقادیر X1 و X2 و Φ به‌ترتیب دامنه نوسان (x1(t و (x2(t و اختلاف فاز هستند. با جایگذاری دو پاسخ فرض شده بالا در معادلات دیفرانسیل بدست آمده، عبارات زیر حاصل خواهند شد.
از آنجایی که معادلات بیان شده بایستی در تمامی زمان‌های t صادق باشند، بنابراین عبارات درون براکت، برابر با صفر قرار داده می‌شوند. در نتیجه خواهیم داشت.
بدیهی است که پاسخ X1 و X2 برابر با صفر، در این معادلات صادق خواهد بود، اما این پاسخ‌ها، سیستم را در حالتی نشان می‌دهد که ارتعاشی انجام نمی‌دهد؛ بنابراین بایستی پاسخ دیگر این دو معادله را پیدا کنیم. به‌منظور یافتن دو پاسخ معادله مفروض،دترمینان ضرایب آن‌ها را برابر با صفر قرار می‌دهیم؛ در نتیجه می‌توان نوشت.
معادله بالا، تحت عنوان «معادله مشخصه» (Characteristic Equation) شناخته می‌شود؛ دلیل این نامگذاری، مشخص شدن فرکانس‌های نوسان با استفاده از این معادلات است. ریشه‌های معادله مشخصه برابر هستند با:
بنابراین می‌توان گفت برای سیستم مفروض، پاسخی به‌شکل زیر وجود دارد.
در این معادلات مقادیر ω1 و ω2 برابر با مقادیر زیر در نظر گرفته می‌شوند.
توجه داشته باشید که مقادیر X1 و X2 مرتبط با ω1، به وسیله X(1)1 و X(1)2 نشان داده می‌شوند؛ هم‌چنین دامنه‌های X1 و X2 مرتبط با ω2 را با X(2)1 و X(2)2 بیان می‌کنند. معادلات بالا همگن هستند. به‌منظور تحلیل پاسخ چنین سیستمی تعاریف زیر صورت می‌گیرد.
مقادیر r=r1 و r=r2 را می‌توان بر حسب فرکانس‌های ω=ω1 و ω=ω2، به‌شکل زیر بیان کرد.
مودهای نرمال مرتبط با ω12 و ω22 را می‌توان به‌ترتیب زیر بیان کرد.
1→X
و 2→X
تحت عنوان «شکل مودی» (Mode Shape) جابجایی جرم‌های موجود در سیستم شناخته می‌شوند.