14-08-2020, 02:08 PM
با استفاده از فرکانس‌های طبیعی و دامنه‌های بدست آمده، پاسخ سیستم را می‌توان به‌صورت زیر بیان کرد.
![[تصویر: 21-1.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/21-1.jpg)
توجه داشته باشید که در این معادلات، مقادیر X(1)1 ،X(2)1 ،Φ1 و Φ2 با استفاده از شرایط اولیه بدست می‌آیند.
شرایط اولیه
دو معادله مربوط به سیستم دو درجه آزادی که در زیر بیان شده، از مرتبه دوم هستند؛ بنابراین برای هر کدام از جرم‌ها به دو شرط اولیه نیاز داریم.
![[تصویر: 22-3.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/22-3.jpg)
لازم به ذکر است که به منظور بررسی یک سیستم چند درجه آزادی در ابتدا بایستی مشخص کرده باشیم که سیستم در کدام مود خود در حال ارتعاش است. این‌که سیستم در کدام مود، ارتعاش می‌کند به نوع تحریک اولیه وابسته است، اما بایستی بدانید که در حالت کلی چنین سیستمی در ترکیبی از مودهای نوسانی خود به ارتعاش در می‌آید. بنابراین همواره پاسخ ارتعاشی به صورت ترکیبی از دو مود ارتعاشی ((x1(t و (x2(t) در نظر گرفته می‌شود.
بنابراین فرض کنید پاسخ کلی سیستم به‌شکل زیر در نظر گرفته شده.
![[تصویر: 23-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/23-2.jpg)
از آنجایی که پاسخ‌های (x1(t و (x2(t شامل ثابت‌های X هستند، بنابراین ضرایب c را برابر با 1 فرض می‌کنیم. حال می‌توانیم پاسخ‌های (x1(t و (x2(t را به‌صورت زیر بیان کنیم.
![[تصویر: 24-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/24-2.jpg)
در این معادلات، ثابت‌های X(1)1 ،X(2)1 ،Φ1 و Φ2 با استفاده از شرایط اولیه بدست می‌آیند. در حالت کلی این شرایط را به‌شکل زیر بیان می‌کنیم.
![[تصویر: 25-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/25-2.jpg)
با جایگذاری شرایط اولیه در پاسخ‌های ارتعاشی در نظر گرفته شده، داریم:
![[تصویر: 26-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/26-2.jpg)
روابط بالا، چهار معادله هستند که با حل آن‌ها 4 مجهولِ X(1)1 ،X(2)1 ،Φ1 و Φ2 بدست می‌آیند. پس از حل این معادلات مجهولات مدنظر به‌شکل زیر محاسبه می‌شوند. [توجه داشته باشید که در این معادلات، r1 و r2 جزو معلومات هستند]
![[تصویر: 27-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/27-2.jpg)
بنابراین پاسخ نهایی ارتعاش این سیستم دو درجه آزادی، با فرض معلوم بودن تحریک اولیه (شرایط اولیه) محاسبه شد.
فرکانس‌های طبیعی سیستم جرم و فنر
به منظور درک بهتر مطالب عنوان شده در بالا، مثال زیر را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
مثال: فرکانس‌های طبیعی و مودهای نوسانی سیستمی را بیابید که مطابق شکل زیر در راستای عمودی نوسان می‌کند.
![[تصویر: Natural-freqencies.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/Natural-freqencies.jpg)
حل: با تعریف مختصات‌های x1 و x2 به عنوان مکان جرم m1 و m2، قانون دوم نیوتن برای این سیستم به‌شکل زیر است.
![[تصویر: 28-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/28-2.jpg)
بنابراین با فرض پاسخی هارمونیک برای این معادلات، داریم.
![[تصویر: 29-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/29-2.jpg)
در نتیجه دترمینان ضرایب این معادله به‌شکل زیر خواهد بود.
![[تصویر: 30-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/30-2.jpg)
پاسخ معادله بالا، فرکانس‌های طبیعی سیستم هستند.
![[تصویر: 31-2.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/07/31-2.jpg)
توجه داشته باشید که در این معادلات، مقادیر X(1)1 ،X(2)1 ،Φ1 و Φ2 با استفاده از شرایط اولیه بدست می‌آیند.
شرایط اولیه
دو معادله مربوط به سیستم دو درجه آزادی که در زیر بیان شده، از مرتبه دوم هستند؛ بنابراین برای هر کدام از جرم‌ها به دو شرط اولیه نیاز داریم.
لازم به ذکر است که به منظور بررسی یک سیستم چند درجه آزادی در ابتدا بایستی مشخص کرده باشیم که سیستم در کدام مود خود در حال ارتعاش است. این‌که سیستم در کدام مود، ارتعاش می‌کند به نوع تحریک اولیه وابسته است، اما بایستی بدانید که در حالت کلی چنین سیستمی در ترکیبی از مودهای نوسانی خود به ارتعاش در می‌آید. بنابراین همواره پاسخ ارتعاشی به صورت ترکیبی از دو مود ارتعاشی ((x1(t و (x2(t) در نظر گرفته می‌شود.
بنابراین فرض کنید پاسخ کلی سیستم به‌شکل زیر در نظر گرفته شده.
از آنجایی که پاسخ‌های (x1(t و (x2(t شامل ثابت‌های X هستند، بنابراین ضرایب c را برابر با 1 فرض می‌کنیم. حال می‌توانیم پاسخ‌های (x1(t و (x2(t را به‌صورت زیر بیان کنیم.
در این معادلات، ثابت‌های X(1)1 ،X(2)1 ،Φ1 و Φ2 با استفاده از شرایط اولیه بدست می‌آیند. در حالت کلی این شرایط را به‌شکل زیر بیان می‌کنیم.
با جایگذاری شرایط اولیه در پاسخ‌های ارتعاشی در نظر گرفته شده، داریم:
روابط بالا، چهار معادله هستند که با حل آن‌ها 4 مجهولِ X(1)1 ،X(2)1 ،Φ1 و Φ2 بدست می‌آیند. پس از حل این معادلات مجهولات مدنظر به‌شکل زیر محاسبه می‌شوند. [توجه داشته باشید که در این معادلات، r1 و r2 جزو معلومات هستند]
بنابراین پاسخ نهایی ارتعاش این سیستم دو درجه آزادی، با فرض معلوم بودن تحریک اولیه (شرایط اولیه) محاسبه شد.
فرکانس‌های طبیعی سیستم جرم و فنر
به منظور درک بهتر مطالب عنوان شده در بالا، مثال زیر را مورد بررسی قرار می‌دهیم.
مثال: فرکانس‌های طبیعی و مودهای نوسانی سیستمی را بیابید که مطابق شکل زیر در راستای عمودی نوسان می‌کند.
حل: با تعریف مختصات‌های x1 و x2 به عنوان مکان جرم m1 و m2، قانون دوم نیوتن برای این سیستم به‌شکل زیر است.
بنابراین با فرض پاسخی هارمونیک برای این معادلات، داریم.
در نتیجه دترمینان ضرایب این معادله به‌شکل زیر خواهد بود.
پاسخ معادله بالا، فرکانس‌های طبیعی سیستم هستند.