14-08-2020, 02:41 PM
. ![[تصویر: Centre-of-Mass10.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass10.jpg)
مرکز جرم مثلث
مرکز جرم چند جسم روی یک خط
مرکز جرم به صورت کلی، مکانی در فضا است که با سه مولفه y ،x و z معرفی می‌شود، اما زمانی که اجسام روی یک خط قرار داشته باشند، تنها با یک مولفه می‌توان به راحتی مکان مرکز جرم را معرفی کرد. این موضوع به آن دلیل است که در شرایط بیان شده، قرار گرفتن مرکز جرم در نقطه‌ای روی همان خط امری بدیهی است و ما تنها به دنبال یافتن مکان دقیق قرارگیری مرکز جرم روی آن خط هستیم.
برای مثال، مجموعه‌ای از اجسام با جرم یکسان m را در نظر بگیرید که روی یک خط افقی مانند شکل زیر قرار گرفتند. مکان قرارگیری این اجسام به ترتیب در نقاط x=0.25m ،x=0m و x=1m است. این فواصل نسبت به نقطه‌ای در سمت چپ خط، داده شده است.
![[تصویر: Centre-of-Mass11.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass11.jpg)
مرکز جرم چند جسم روی یک خط
مرکز جرم مجموعه اجسامی که روی یک خط قرار گرفتند با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.
![[تصویر: Centre-of-Mass-12.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-12.png)
رابطه 3
در این رابطه mi، جرم هر یک از اجسام را نشان می‌دهد و ri فاصله اجسام از یک مبدا مشخص را بیان می‌کند. بنابراین صورت کسر نشان داده شده در رابطه فوق (رابطه ۳) را می‌توان برای مثال بالا، به شکل زیر بازنویسی کرد.
![[تصویر: Centre-of-Mass-13.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-13.png)
مخرج معادله مرکز جرم (رابطه ۳) نشان دهنده مجموع جرم اجسام حاضر در مسئله است. این عبارت را برای مثال بیان شده، می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.
![[تصویر: Centre-of-Mass-14.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-14.png)
بنابراین می‌توان مکان قرارگیری مرکز جرم این مجموعه از اجسام را با استفاده از قرار دادن مقادیر بالا در رابطه ۳، به شکل زیر محاسبه کرد.
![[تصویر: Centre-of-Mass-15.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-15.png)
بنابراین مرکز جرم مجموعه اجسام نشان داده شده، در نقطه‌ای روی خط و در فاصله 512m
از سمت چپ مجموعه قرار دارد.
مرکز جرم چند جسم در حالت کلی
فرض کنید، مجموعه‌ای شامل چند جسم موجود است که این اجسام روی یک خط قرار ندارند. در این حالت، باید از سه مولفه y ،x و z برای نمایش مرکز جرم استفاده کرد. رابطه هرکدام از این مولفه‌ها، مشابه با رابطه ۳ است. در واقع در تمام حالات، صورت کسر مرکز جرم به صورت مجموع حاصل ضرب جرم هر جسم در مکان آن است و مخرج آن مجموع جرم تمام اجسام را نشان می‌دهد.
در این حالت، مختصات مرکز جرم با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه است. این روابط به ترتیب مکان مرکز جرم را در سه راستای y ،x و z نمایش می‌دهد.
![[تصویر: Centre-of-Mass-16.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-16.png)
رابطه ۴ ![[تصویر: Centre-of-Mass-17.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-17.png)
رابطه 5 ![[تصویر: Centre-of-Mass-18.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-18.png)
رابطه 6
به عنوان مثال، سه جسم با جرم‌های m1 ،m0 و m2 را مطابق شکل زیر در نظر بگیرد. این اجسام به صورت دو بعدی و در یک صفحه، کنار یکدیگر قرار گرفتند و مولفه z تمام آن‌ها یکسان است. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که مرکز جرم آن‌ها روی همین صفحه قرار دارد و نیاز به محاسبه مولفه z مرکز جرم (رابطه 6) نیست.
![[تصویر: Centre-of-Mass19.jpg]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass19.jpg)
همانطور که بیان شد، مولفه x مرکز جرم با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.
![[تصویر: Centre-of-Mass-20.png]](https://blog.faradars.org/wp-content/uploads/2018/09/Centre-of-Mass-20.png)
صورت و مخرج رابطه بالا (مولفه x مرکز جرم) برای مجموعه اجسام نشان داده شده، به شکل زیر محاسبه می‌شود.
مرکز جرم مثلثمرکز جرم چند جسم روی یک خط
مرکز جرم به صورت کلی، مکانی در فضا است که با سه مولفه y ،x و z معرفی می‌شود، اما زمانی که اجسام روی یک خط قرار داشته باشند، تنها با یک مولفه می‌توان به راحتی مکان مرکز جرم را معرفی کرد. این موضوع به آن دلیل است که در شرایط بیان شده، قرار گرفتن مرکز جرم در نقطه‌ای روی همان خط امری بدیهی است و ما تنها به دنبال یافتن مکان دقیق قرارگیری مرکز جرم روی آن خط هستیم.
برای مثال، مجموعه‌ای از اجسام با جرم یکسان m را در نظر بگیرید که روی یک خط افقی مانند شکل زیر قرار گرفتند. مکان قرارگیری این اجسام به ترتیب در نقاط x=0.25m ،x=0m و x=1m است. این فواصل نسبت به نقطه‌ای در سمت چپ خط، داده شده است.
مرکز جرم چند جسم روی یک خطمرکز جرم مجموعه اجسامی که روی یک خط قرار گرفتند با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.
رابطه 3در این رابطه mi، جرم هر یک از اجسام را نشان می‌دهد و ri فاصله اجسام از یک مبدا مشخص را بیان می‌کند. بنابراین صورت کسر نشان داده شده در رابطه فوق (رابطه ۳) را می‌توان برای مثال بالا، به شکل زیر بازنویسی کرد.
مخرج معادله مرکز جرم (رابطه ۳) نشان دهنده مجموع جرم اجسام حاضر در مسئله است. این عبارت را برای مثال بیان شده، می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد.
بنابراین می‌توان مکان قرارگیری مرکز جرم این مجموعه از اجسام را با استفاده از قرار دادن مقادیر بالا در رابطه ۳، به شکل زیر محاسبه کرد.
بنابراین مرکز جرم مجموعه اجسام نشان داده شده، در نقطه‌ای روی خط و در فاصله 512m
از سمت چپ مجموعه قرار دارد.
مرکز جرم چند جسم در حالت کلی
فرض کنید، مجموعه‌ای شامل چند جسم موجود است که این اجسام روی یک خط قرار ندارند. در این حالت، باید از سه مولفه y ،x و z برای نمایش مرکز جرم استفاده کرد. رابطه هرکدام از این مولفه‌ها، مشابه با رابطه ۳ است. در واقع در تمام حالات، صورت کسر مرکز جرم به صورت مجموع حاصل ضرب جرم هر جسم در مکان آن است و مخرج آن مجموع جرم تمام اجسام را نشان می‌دهد.
در این حالت، مختصات مرکز جرم با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه است. این روابط به ترتیب مکان مرکز جرم را در سه راستای y ،x و z نمایش می‌دهد.
رابطه ۴ رابطه 5 رابطه 6به عنوان مثال، سه جسم با جرم‌های m1 ،m0 و m2 را مطابق شکل زیر در نظر بگیرد. این اجسام به صورت دو بعدی و در یک صفحه، کنار یکدیگر قرار گرفتند و مولفه z تمام آن‌ها یکسان است. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که مرکز جرم آن‌ها روی همین صفحه قرار دارد و نیاز به محاسبه مولفه z مرکز جرم (رابطه 6) نیست.
همانطور که بیان شد، مولفه x مرکز جرم با استفاده از رابطه زیر قابل محاسبه است.
صورت و مخرج رابطه بالا (مولفه x مرکز جرم) برای مجموعه اجسام نشان داده شده، به شکل زیر محاسبه می‌شود.